∞⁰ = ∞, 1 eller udefineret. Hvilken er det?

For et par dage siden skrev jeg en artikel om Ramanujan Summation, som at kortlægge en lang historie kort er en matematisk serie, der ligner sådan:

Hvis du vil læse artiklen, skal du klikke her. Jeg beviser dette i artiklen sammen med to andre lige så interessante ligninger. Det er faktisk her, jeg snuble ind i ideen til netop denne artikel. Efter at have offentliggjort Ramanujan-mødet, fik jeg en kommentar om min brug af kommutativiteten i et uendeligt tælleligt sæt. Kommutativitet er ideen om, at hvis du har 1 + 2 + 3, ændrer ordene ikke vilkårene. Så 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, du kan kun ordene i en hvilken som helst rækkefølge og svaret vil stadig være 6. Jeg bruger denne egenskab til at bevise ovennævnte ligning i min anden artikel, men forceOfHabit bragte en interessant op punkt, gælder dette for et uendeligt antal tal?

”Det er intuitivt indlysende, at der er dobbelt så mange positive heltal som endda positive heltal. Men hvis vi tager sekvensen af ​​positive heltal og multiplicerer dem alle med 2, får vi sekvensen af ​​lige positive heltal. Men at multiplicere hvert medlem af sekvensen med 2 ændrer ikke antallet af medlemmer. Så der er nøjagtigt det samme antal positive heltal som endda positive heltal. Så hvad er det? Dobbelt så mange eller det samme antal? ” - forceOfHabit

Og ærligt talt vidste jeg ikke svaret på dette. Men det havde øget min interesse, så jeg besluttede at undersøge det lidt mere. Jeg gik ned af en wormhole fra Wikipedia gennem forskellige grene af matematikken, lærte nogle interessante fakta undervejs og endte med kardinalitet. Kardinalitet beskæftiger sig med sæt, og hvordan du beskriver antallet af elementer i et sæt. For eksempel har sættet {1,2,3} 3 elementer eller en kardinalitet på 3.

Ved hjælp af kardinalitet kan vi begynde at få et greb om ovenstående spørgsmål. Jeg undersøgte lidt videre og fandt en interessant del af kardinalitet kaldet kardinal aritmetik, som er aritmetiske operationer, der kan udføres på kardinalnumre, der generaliserer de almindelige operationer for naturlige tal. For at sige det i lamensbegreber er de et specielt sæt operationer, der fungerer specifikt til kardinalnumre, hver med deres egen definition. For eksempel, hvis du har to sæt A og B med kardinaliteter henholdsvis 3 og 4, betegner vi dette som | A | = 3 og | B | = 4. Derefter | A | + | B | = | A ∪ B |. Dette er naturligvis det samme som blot at tilføje numeriske værdier for | A | og | B |, det faktum, at det er defineret på denne måde, viser, hvordan der er aritmetiske operationer, der kan oprettes til specifikke sæt (forudsat at operationen opfylder visse kriterier).

Ved anvendelse af kardinal aritmetik er det ikke kun bevist, at antallet af point i en reel talelinje er lig med antallet af point i et hvilket som helst segment af den linje. Det lyder meget counter-intuitivt, men så igen, så er også spørgsmålet ovenfor, hvorfor jeg gerne synes, de er ens. Naturligvis er dette på ingen måde et formelt eller endda et gyldigt bevis, men jeg vil påpege, at hvis du betragter dem i samme forstand, så er svaret på forceOfHabits spørgsmål mulighed b; det samme antal heltal.

Men på den anden side har jeg måske helt forkert, og det er uendelighedens forvirring. Der er så meget, der ikke vides om det, fordi det kun er et koncept. Der er ingen måde at måle uendelighed, fordi den per definition er umulig, og at det i sig selv er et vanskeligt koncept at vikle dit hoved rundt. Jeg synes, at min 1. års matematiksprofessor opsummerede uendelighed temmelig godt: ”Jeg hader uendelighed. Det er ikke et tal, men vi behandler det som et, men vi burde ikke. Det er et koncept, ikke en matematisk værdi, så hvis nogen af ​​jer bruger det som sådan, kan du lige så godt droppe kurset! ”

Nu til mit yndlingsnummer i hele verden. Du spørger nogen, hvad deres yndlingsnummer er (efter at have løbet tør for small-talk om vejret selvfølgelig), og de vil sandsynligvis sige noget om en fødselsdag eller et heldigt nummer, de tror på. Men spørg mig, og jeg vil fortælle dig 0. Det er ikke et heldigt antal, heller ikke en fødselsdag eller jubilæum, men det er langt det mest interessante for mig.

For det første har det en værdi, men ingen værdi. Hvis du tilføjer det til et andet nummer, forbliver det det samme. Trækk det, forbliver det samme. Men når du multiplicerer det, får du 0, uanset hvad du multiplicerer det med.

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

Og når du deler det, får du 0, uanset hvad nævneren (bjælke 1-nummer, hold øje med det). 0/1234 er stadig nul

Men når du dykker ved nul, får du nogle virkelig skøre ting. Jeg taler skurrende kugler i matrixniveauet skøre. Enhver, der har taget en algebra klasse, ved, at vi ikke kan dele med nul, fordi den er udefineret. Vi klassificerer det som udefineret, fordi hvis du prøver at dele 6 med nul, er det analogt med at stille spørgsmålet "Hvilket antal gange 0 er lig med seks?" Vi ved, at der ikke findes noget tal for at tilfredsstille det, så division med nul følger ikke de normale regler for opdeling. Derfor ser vi bort fra det. Men hvis vi glemmer denne regel et øjeblik, kan division ved nul blive et meget pænt redskab til at 'bevise' helt latterlige ting. For eksempel:

Lad a = b. Derefter
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) #Magisk trin forekommer her
2 = 1

Der går vi, jeg beviste bare, at 2 = 1 og brød matematik! Årsagen til at dette fungerer er på grund af det magiske trin, der deler begge sider med a² - ab, men hvis du ser på det originale udsagn, er a = b, så a² = ab, med andre ord a² - ab = 0. Dette er division ved nul, hvilket er udefineret af denne nøjagtige grund. Det er også grunden til, at matematikere undgår den som pesten.

Heldigvis er det faktisk den tredje mulighed. Jeg kunne gennemgå, hvordan når det er i form af en grænse, det er en ubestemmelig form, men jeg tror, ​​at en kendt ven fra Apple beskriver det bedst:

”Forestil dig, at du har 0 cookies, og at du opdeler dem jævnt mellem 0 venner. Hvor mange cookies får hver person? Se, det giver ikke mening. Og Cookie Monster er ked af, at der ikke er nogen cookies. Og du er ked af, at du ikke har nogen venner. ” - Siri (prøv virkelig at spørge Siri “hvad er 0 divideret med 0?”)

Et mere kompliceret spørgsmål, der involverer nul, hvad er 0⁰? Nå, pr. Definition, hvis du har en til magten af ​​b, ville resultatet med en ganges med sig ganget antal gange. Så det skal være nul, ikke? Fordi ethvert tal ganget med nul er nul. Men vi ved også, at a⁰ = 1 (for alle en 0), så måske skulle det være 1? Eller skal det udefineres som opdeling med 0? Dette er længe blevet drøftet i matematik, og der er argumenter for begge sider for, hvad det rigtige svar skal være. Der er et interessant websted her, der giver argumenter for begge sider, men de vigtigste er som følger: På 0⁰ skal være udefineret side, har vi:

  1. Vi ved a⁰ = 1 (for alle a ≠ 0), men a⁰ = 1 (for alle a> 0). Denne modsigelse betyder, at 0⁰ bør udefineres

På 0⁰ = 1 side har vi:

  1. For at den binomielle teorem skal indeholde x = 0, har vi brug for 0⁰ = 1
  2. 0⁰ repræsenterer det tomme produkt (antallet af sæt med 0 elementer, der kan vælges fra et sæt af 0 elementer), som per definition er 1 (dette er også den samme grund til, at noget andet, der hæves til kraften i 0, er 1).

Så hvad er svaret? Nå, vi har stadig ikke et konkret svar. De fleste mennesker er enige om, at det er ubestemt (da x ^ y som funktion af to variabler ikke er kontinuerlig ved oprindelsen). Men begge sider har gyldige argumenter, og indtil nogen kan komme med et konkret bevis, der hævder det ene eller det andet, er det virkelig umuligt at hævde, hvis enten en er sand.

Nu undrer du dig måske, hvad der sker, hvis du kombinerer de to. Hvad er ∞ x 0? Hvad med ∞⁰? Problemet kommer tilbage til uendelighed, idet det kun er et koncept. Der er ingen måde at måle det på, du kan ikke have et uendeligt antal gummibjørne eller en uendelig mængde is (selvom jeg er sikker på, at vi alle ønsker, at vi kunne).

Det meste af tiden er svaret udefineret. Dette er alle eksempler på spørgsmål, der ikke har et svar, fordi vi ikke kan give en meningsfuld værdi til et begreb som uendelig. Der er selvfølgelig den underlige undtagelse, ligesom 0 ^ ∞, som har en slags-værdi på 0. Hvis du tager grænsen på 0 ^ n, da n har en tendens til uendelig, er den nul. Men det er sjældne tilfælde, og selv da er 0 ^ still teknisk set ikke lig med 0, det kommer bare meget tæt på det.

Så du forstår, uendelighed er en meget interessant ting, fordi den er så håndgribelig og så abstrakt på samme tid. Du ser det hele tiden i matematiske lærebøger og ligninger, men vi har stadig ikke en konkret definition eller værdi for, hvad det er.

Nul er bare fantastisk, fordi det gør sin egen ting. Nogle gange kan det lide at spille efter reglerne, nogle gange gør det sin egen ting, og lejlighedsvis låser det sig selv i et rum og nægter at samarbejde med nogen.

Begge har deres egne forløsende egenskaber, som er meget nyttige inden for matematik. De har også deres egne quirks, som kan være nyttige og nogle gange, og en smerte i ryggen hos andre. Men selvom det bare er en af ​​livets kendsgerninger, er det uendelighedens og nulens forvirring.