10 akavede øjeblikke i mathistorie

Vi har alle oplevet vores akavede øjeblikke. Der sker noget uventet, der er en vis social spænding og en personlig uro, og du vil virkelig gerne komme over det eller glemme, at det nogensinde er sket. Men hvad nu hvis du er en streng matematiker, og du lige har modbevist din verden?

Matematik har altid handlet om udøvelsen af ​​at forstå verden gennem logik og udtrykke den på et strengt defineret, matematisk sprog. Det er virkelig vejledende, uddannelsesmæssigt og sjovt at observere matematik, når det stoppede (øjeblikkeligt) med at give mening.

1. Opdagelsen af ​​irrationelle tal

Skolen i Athen, der blandt næsten enhver mulig antik græsk filosof skildrer Pythagoras i venstre hjørne

Da oprindelsen af ​​matematisk strenghed ligger i det antikke Grækenland, begyndte den matematiske tanke tæt på religiøs tro, således blev antallet tilskrevet guddommelige karakteristika.

School of Pythagoras, et okkult team af tidlige matematikere, der skubbede matematisk viden fremad, ligesom alle kulter, var baseret på nogle fundamentalistiske overbevisninger. Forbløffet over forholdets anvendelighed til ethvert praktisk problem troede de, at forhold (ja, enkle opdelte tal) er guddommelige, da de kan forklare alt, hvad der sker i verden.

Derfor skal alt, hvad der sker i verden, kunne udtrykkes som et forhold, ikke?

Forestil dig nu deres overraskelse, da de opdagede antallet af kvadratroder på 2, mens de anvendte den nyligt formulerede Pythagorean sætning. Dette irrationelle tal (irrationel betydning, at det ikke kan udtrykkes som forholdet mellem to tal) trossede verdensordenen som udtrykt ved guddommelige forhold og stillede spørgsmålstegn ved hele deres filosofi.

Forfærdet over konsekvenserne af denne revolutionære opdagelse besluttede de ikke at fortælle nogen om det. Det siges også, at de endda druknede den mand, der gjorde opdagelsen, Hippasus. Stille videnskabelig, synes du ikke?

2. Uendelighed

Opdagelsen af ​​irrationelle tal, der allerede var dårlig som det var, bragte grækerne foran en mere skræmmende opdagelse: uendelig. Da irrationelle tal er kendetegnet ved at have et uendeligt antal decimaler, måtte grækere komme med en forklaring på, hvordan en uendelig række af numre kan oprettes. Begrebet uendelighed er vanskeligt at forstå i dag, så meget mindre en tid, hvor religion var forbundet med videnskab, og en matematisk tro burde ikke udfordre vores forståelse af Gud. Så hvad gjorde grækerne? Filosofer, ligesom Aristoteles og Platon, afviste forestillingen om en absolut uendelighed, og matematikere kom med opfindelige måder at omgå behovet for uendelighed i geometri, ligesom Eudoxus fra Cnidus, der udviklede udmattelsesmetoden til at beregne formens område. Først i slutningen af ​​1600-tallet opfordrede Newton og Leibniz til at tage hensyn til uendelighed gennem deres brug af infinitesimals, og John Wallis introducerede det velkendte symbol på uendelighed i 1655.

3. Zenos paradokser

Grækerne gik bestemt til ekstremer, når det kom til filosofisk ræsonnement.

Efter at hans forgænger Heraclitus hævdede, at alt i verden konstant ændrer sig, hævdede Parmenides, at intet ændrer sig. Som et resultat er bevægelse en ren illusion, og det bør derfor være umuligt at bruge matematik, sandhedens sprog ifølge grækerne, til at beskrive det.

Zeno, en af ​​Parmenides 'studerende, udtænkte en række paradokser med det formål at bevise bevægelsens irrationalitet. Den mest berømte, Achilles og hans skildpadde, går sådan: Achilles kæmper mod en skildpadde, hvilket bliver markant langsommere får fordelen ved at starte løbet 100 meter foran ham.

Hvis vi for rystelsen af ​​enkelheden antager, at hastigheden for de to deltagere er konstant, og Achilles er 10 gange hurtigere end skildpadden, kan vi sige, at når Achilles når skildpaddens startpunkt, vil dette have løbet 10 meter. Så Achilles vil prøve at indhente, og når han når dette næste punkt, vil skildpadden have flyttet en ekstra meter.

Dette matematikproblem i gymnasiet, som er så enkelt og klart som det er, fører os til følgende paradoksale konklusion: Achilles vil aldrig nå skildpadden, uanset hvor meget hurtigere han er. Tillykke Zeno, du fik bevægelse til at lyde ulogisk.

Zenos paradokser antages at eksistere i metafysikens og de urolige filosoffer og matematikere i årevis, men i dag kan de forklares med calculus, et matematisk værktøj, som grækere ikke havde. Lad os ”gå videre”.

4. Möbius strip

En Möbius-strip, der gør det selv

Den sjove udseende Möbius-strip, som også uafhængigt blev opdaget i 1858 af den uheldige fortegnelse, hvis navn efterlod matematikens historie urørt, er en overflade med kun den ene side og kun en grænse, der ofte bruges til at pusle unge matematikstuderende.

Du kan nemt oprette den ved at tage en strimmel papir, vri den og derefter sammenføje enderne af strimlen.

At være det første eksempel på en overflade uden orientering rystede ikke grunden til matematik så meget som de andre opdagelser på denne liste gjorde, alligevel gav den en masse praktiske anvendelser, såsom et resistent bælte, og inspirerede matematikere til at komme med uorienterbare overflader, ligesom Klein-flasken. (Navnet på denne overflade kommer muligvis fra et dobbelt tilfældighed: Klein, dens konceptor, oprindeligt navngivet det Fläche, som betyder overflade på tysk og lyder som Flasche, hvilket betyder flaske. Det faktum, at det også lignede en flaske ser ud til at have forseglet omdøbet).

5. Cantors utallige antal reelle tal

Cantor beviste i 1874, at der allerede var et træk, og der findes forskellige slags uendelighed. For at bevise, at reelle tal er utallige, beviste Cantor især, at dette sæt er større end det allerede uendelige sæt naturlige tal.

I 1891 fremførte han også det diagonale argument, et bevis så elegant, at det senere blev vedtaget som et redskab til at bevise ved hjælp af et paradoks. Hans bemærkning fødte teorien om kardinalnumre samt paradokser, der beskæftiger sig med spørgsmålet: hvor mange uendeligheder kan du håndtere?

6. Russells paradoks

Bertrand Russell var en matematiker, filosof, logiker, matematiker, historiker, forfatter, socialkritiker, politisk aktivist og efter min mening en personlighed, der var værd at studere og inspirere sig selv fra.

I 1901 opdagede Russell et svagt sted i Cantors hidtil veletablerede sætteori, hvilket førte ham til en modsigelse, som den matematiske verden ikke kunne føre tilsyn med. I henhold til denne teori kan enhver samling af ting være et sæt.

Russells modstridende eksempel, også kaldet Barberens paradoks, går som følger: forestil dig en by, der har en særlig regel; enhver mand, der ikke er barberet af sig selv, skal barberes af byens frisør. Det akavede spørgsmål, som du kan prøve at besvare jer selv, er: hvem barberer frisøren?

Denne opdagelse førte ham til at stille spørgsmålstegn ved de grundlæggende elementer i den forrige sætteori og skabe en ny, som var mere kompliceret end den senere foreslåede Zermelo-Fraenkel sætteori, ikke fanges op.

7. Gödels ufuldstændige sætninger

Kurt Gödel logikeren, matematikeren og filosofen, der rystede grunden til matematik og logik i det 19. århundrede.

Hvis de foregående begivenheder så ud til at skabe lidt ubehagelige øjeblikke, skal du vente på den følgende akavede skildpadde (og dette er værre end Achilles).

Vi taler om det 20. århundrede. Folk ville ikke bare vide det. De ville vide, om det er muligt at vide det, og bevise det. Uheldigvis for dem og det menneskelige behov for forståelse af universet offentliggjorde Gödel i 1931 to sætninger, kendt som ufuldstændighedsteoreme.

At forklare de tekniske detaljer ved dem er lige så vanskeligt som at komme i forhold til deres konklusioner, som det, som Gödel beviste, var, at der i betragtning af et konsistent og komplet system, såsom aritmetiksprog, er udsagn, der både er sande og ikke kan bevises. Han illustrerede sandheden i sit sætning med denne enkle udsagn, inspireret af løgnerens paradoks: ”Denne udsagn kan ikke bevises”. Hvis dette er sandt, er denne erklæring sand og kan ikke bevises. Hvis dette er forkert, kan denne erklæring bevises, hvilket strider mod det originale argument om, at det ikke kan bevises.

Dette var meget dårlige nyheder for matematik og fratog dem deres oprindelige blænding for at forklare den absolutte sandhed. Det var også et frygteligt comeback til Hilberts søgen efter viden, udtrykt i hans udsagn ”Vi må vide, vi vil vide”.

8. Tarskis teoretisk udefinerbarhed

Det ser ud til, at Tarski var inspireret af fortvivlelsen skabt af Gödel. I 1936 fremlagde han bevis for problemet med udefinerbarhed.

Selvom observationer foretaget af Tarski også er inkluderet i Gödels arbejde, hævdes det, at Tarskis arbejde har en mere dybtgående filosofisk indflydelse. Tarski formåede at nå den generelle konklusion om, at et sprog ikke kan definere sandheden i sig selv. Selvom dette er en vigtig begrænsning, foreslår han, at det er tilstrækkeligt at bruge et mere kraftfuldt metasprog til at definere sandheden på det enklere sprog.

Nu kan en almindelig person mene, at dette løser problemet, men for en matematiker, der leder efter ”det ene sprog til at regere over dem alle”, er dette ikke så trøstende.

9. Problemet med at stoppe

Alan Turing forsøgte at tackle beslutningsproblemet, der med enkle ord handlede med at finde en algoritme, der kan svare på, om en erklæring er sand eller ej. For at tackle dette begrebsmæssigt enkle, men vanskelige at løse problem, omformulerede han det til stopproblemet: er der en maskine, der kan fortælle dig, om et program vil stoppe på et givet problem?

Standsning betyder, at det ikke vil sløjfe for evigt. Men hvordan beviser du umuligheden af ​​en maskine, du ved så lidt om? Det er her, paradokser kommer godt med.

Alan Turing begyndte med at antage eksistensen af ​​en maskine, der gav et inputprogram og et problem besvarer spørgsmålet om, hvorvidt det vil standse eller ej. Derefter udvidede han denne maskine ved at sløbe dens output tilbage til sig selv, hvis svaret var ja og standse, hvis svaret var nej.

Så vil den udvidede maskine stoppe ved stop-problemet? Alans svar er: hvis ja, nej, hvis ikke, ja. Lyder som dårlige nyheder for logik.

10. The No Free Lunch Theorem

Overgangen til det 21. århundrede betød en overførsel fra ren, næsten filosofisk matematik, til anvendte områder, såsom statistik og optimering.

Hvis du betragter dig som at være glad for optimering, tror du ikke, at dette vil gøre dig til en perfektionist? Og ville ikke en perfektionist finde den optimale måde at optimere tingene på?

Det ser ud til, at David Wolpert og William Macready følte dette behov og kom med et svar, som naturligvis ikke var opmuntrende overhovedet (ellers ville det ikke være på vores liste). I henhold til deres Ingen gratis frokost-sætning om optimering, der blev offentliggjort i 1997, “er alle to optimeringsalgoritmer ækvivalente, når deres gennemsnit beregnes på tværs af alle mulige problemer.”

Hjertebrydende kan dette være, det betyder ikke, at optimering er nytteløs. Vi finder bare aldrig en generelt optimal måde at gøre det på.

Disse øjeblikke fik matematikens verden til at føle sig akavet, hvilket er en lysbetegnelse på følelser af fortvivlelse og kaos, som forskere har en tendens til at opleve, når universet holder op med at give mening. Men chok er måden at bevæge videnskaben på.

Der blev skabt matematiske felter, vi fik Turing Machine, smarte overflader og vigtigst af alt evnen til at revidere vores opfattelser og tilpasse vores værktøjer i overensstemmelse hermed.

Disse spørgsmålstimer hjalp os med at udvikle sig intellektuelt.

Bortset fra ufuldstændige sætninger. Disse var bare ødelæggende.